【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
平分
，
平面
，
，點
在
上，
.
（1）求證：
平面
；
（2）若
，
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析.
（2）
.
【解析】
（1）先根據(jù)
平面
得
，再根據(jù)已知
，得
平面
，即得
，另一方面根據(jù)計算得
，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結論，（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解得平面
的一個法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關系求結果.
（1）證明：因為平面，所以，
又因為，
，所以平面
所以
作
交
于點
，則
平面，
在
中，
，，設
則
易證
因為
，則
所以
，即
，
所以
平面
.
（2）如圖所示，以
為坐標原點，分別以
的方向為
軸，
軸正方向，建立空間直角坐標系
因為垂直平分，所以
為直角三角形
的斜邊上的中線
所以
因為
，
，由
，得
，
設平面的一個法向量為
，
則
即
得
，取
，則
，
由（1）可知
為平面的一個法向量，
所以
由圖可知，所求二面角為銳角
所以所求二面角的余弦值為.
挑戰(zhàn)100單元檢測試卷系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某公司做了用戶對其產品滿意度的問卷調查，隨機抽取了20名用戶的評分，得到圖3所示莖葉圖，對不低于75的評分，認為用戶對產品滿意，否則，認為不滿意，
(Ⅰ)根據(jù)以上資料完成下面的2×2列聯(lián)表，若據(jù)此數(shù)據(jù)算得
，則在犯錯的概率不超過5%的前提下，你是否認為“滿意與否”與“性別”有關？
附：
(Ⅱ) 估計用戶對該公司的產品“滿意”的概率；
(Ⅲ) 該公司為對客戶做進一步的調查，從上述對其產品滿意的用戶中再隨機選取2人，求這兩人都是男用戶或都是女用戶的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩焦點在
軸上，且短軸的兩個頂點與其中一個焦點的連線構成斜邊為
的等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程；
(2)動直線
交橢圓
于
兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點
，使得以線段
為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某商場為了吸引大家，規(guī)定：購買一定價值的商品可以獲得一張獎券，獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動，已知甲有一張該商場的獎券，且每次兌獎活動的中獎概率都是0.05，求：
（1）甲中兩次獎的概率；
（2）甲中一次獎的概率；
（3）甲不中獎的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某超市為調查會員某年度上半年的消費情況制作了有獎調查問卷發(fā)放給所有會員，并從參與調查的會員中隨機抽取
名了解情況并給予物質獎勵.調查發(fā)現(xiàn)抽取的
名會員消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間
內，調查結果按消費金額分成
組，制作成如下的頻率分布直方圖.
（1）求該
名會員上半年消費金額的平均值與中位數(shù)；（以各區(qū)間的中點值代表該區(qū)間的均值）
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從前
組中選取
人進行消費愛好調查，然后再從前
組選取的人中隨機選
人，求這
人都來自第
組的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知正方體
,過對角線
作平面
交棱
于點
,交棱
于點
,下列正確的是（ ）
A.平面分正方體所得兩部分的體積相等；
B.四邊形
一定是平行四邊形；
C.平面與平面
不可能垂直；
D.四邊形的面積有最大值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（其中
）在點
處的切線斜率為1.
（1）用
表示
；
（2）設
，若
對定義域內的
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，如果
，證明： 
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
中心在坐標原點，焦點在
軸上，且過
，直線
與橢圓交于
,
兩點（,兩點不是左右頂點），若直線的斜率為
時，弦
的中點
在直線
上.
（Ⅰ）求橢圓的方程.
（Ⅱ）若以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點，則直線是否經過定點，若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.
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