Question

（本小題滿分14分）集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)構(gòu)成的；對(duì)于任意的，都有

  （1）分別判斷函數(shù)是否在集合A中？并說明理由；

  （2）設(shè)函數(shù)，試求|2a+b|的取值范圍；

  （3）在（2）的條件下，若，且對(duì)于滿足（2）的每個(gè)實(shí)數(shù)a，存在最小的實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)恒成立，試求用a表示m的表達(dá)式.

Answer 1

（2）     

解析:

（I） 證明：任取，且，則

        

    因?yàn)?img width=297 height=28 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/199/365199.gif">

       所以，，   所以，，也即：；      對(duì)于，只需取則

而，所以， 

（II）因?yàn)?img width=107 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/8/365208.gif">屬于集合A，所以，任取，則

 也即：  ①

設(shè)，則上式化為：  ②因?yàn)?img width=83 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/14/365214.gif">所以

①式對(duì)任意的恒成立，即②式對(duì)恒成立，

可以證明  所以，，即

（III）由可知：. 又由（II）可知：，所以，

i）當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，  令 

ii）當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，的最小值為

若，即時(shí)，為方程的較小根.

所以， 

若，即時(shí)，由于在上單調(diào)遞增，所以，為方程的較大根，所以，.

綜上可知：.