Question

（2008•如東縣三模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)k＞0，使|f（x）|≤

k

2010

|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱f（x）為“誠毅”函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=x²；  
②f（x）=sinx+cosx；  
③f（x）=

x

x2+x+1

；  
④f（x）=3^x+1；
其中f（x）是“誠毅”函數(shù)的序號(hào)為

③

．

Answer 1

分析：利用新定義，取x=0，考查函數(shù)

|f(x)|

|x|

的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：對(duì)于①，

|f(x)|

|x|

=|x|，顯然不存在常數(shù)k＞0，使得|x|≤

k

2010

，故不滿足題意；
對(duì)于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時(shí)，|f(x)|≤

k

2010

不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，

|f(x)|

|x|

=

1

x2+x+1

=

1

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，令

k

2010

=

4

3

，則k=2680，使|f(x)|≤

k

2010

|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故③正確；
對(duì)于④，f（x）=3^x+1，由于x=0時(shí)，|f(x)|≤

k

2010

不成立，故錯(cuò)誤；
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題考查閱讀題意的能力，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解，根據(jù)“誠毅”的定義進(jìn)行判定是關(guān)鍵．