Question

已知f（x）=e^x-ax（e=2.718…）
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅲ） A（x_l，y_l），B（x₂，y₂）是f（x）的圖象上任意兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，若總存在x_o∈R，使得f′，求證：x_o＞x_l．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
所以f（x）在R上單調(diào)遞增．
②當(dāng)a＞0時(shí)，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增．
（II）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴由（Ⅰ）知a＞0，且，
解得e＜a＜．
故a的取值范圍是（e，）．
（Ⅲ）證明：f′（x₀）=
?
?，
等式兩邊同時(shí)除以，得，
設(shè)t=x₂-x₁，則t＞0，
構(gòu)造函數(shù)g（t）=．
則=在t＞1時(shí)恒成立，
所以g（t）在t＞1時(shí)恒成立，
所以g（t）＞g（1）=e-1＞1，
所以，故x₀＞x₁．
分析：（I）由f（x）=e^x-ax，知f′（x）=e^x-a，再由a的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）由f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)，知a＞0，且，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）f′（x₀）=等價(jià)于，等式兩邊同時(shí)除以，得，設(shè)t=x₂-x₁，構(gòu)造函數(shù)g（t）=．由此能夠證明x₀＞x₁．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高．