Question

【題目】過橢圓 =1的右焦點(diǎn)F作斜率k=﹣1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且 共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)三角形AOB的面積S△AOB= 時(shí)，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)AB：y=﹣x+c，直線AB交橢圓于兩點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2），

，b2x2+a2（﹣x+c）2=a2b2，

（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0，

， ， =（x1+x2，y1+y2），與 = 共線，

可得3（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，3（﹣x1+c﹣x2+c）﹣（x1+x2）=0

（2）解：由a2=3b2，可設(shè)橢圓的方程為： ，c2=3b2﹣b2=2b2， ，

AB：y=﹣x+ b， ，可得： ，

即 ，

∴ ， ，

AB的距離為：|AB|= = = ，

O到AB距離 ．

，

橢圓方程為 ．

【解析】（1）設(shè)直線AB的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，通過+與共線，可求出橢圓的離心率；（2）設(shè)橢圓的方程和直線的方程，聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定理求出|AB|，O到直線AB的距離 ，利用三角形的面積，可求出橢圓的方程．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．