Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（5，-5），P（cosα，sinα），其中0≤α≤π
（1）若cosα=

4

5

，求證：

PA

⊥

PO

．
（2）若

PA

∥

PO

，求sinα+3cosα的值．

Answer 1

分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα=

3

5

，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得

PA

•

PO

，可得

PA

⊥

PO

．
（2）利用兩個(gè)向量共線(xiàn)的性質(zhì)可得-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化簡(jiǎn)可得 sinα=-cosα=

2

2

，從而得到sinα+3cosα的值．

解答：解：（1）若cosα=

4

5

，∵已知點(diǎn)A（5，-5），P（cosα，sinα），0≤α≤π，
∴sinα=

3

5

，

PA

=（5-cosα，-5-sinα），

PO

=（-cosα，-sinα），
∴

PA

•

PO

=（5-cosα，-5-sinα）•（-cosα，-sinα）=-5cosα+cos²α+5sinα+sin²α 
=1+5sinα-5×cosα=1+5×

3

5

-5×

4

5

=0，
故有

PA

⊥

PO

．
（2）若

PA

∥

PO

，則-sinα（5-cosα）=（-5-sinα）（-cosα），化簡(jiǎn)可得-sinα=cosα．
再由0≤α≤π 可得，α=

3π

4

，故sinα+3cosα=

2

2

-

3 2

2

=-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量垂直、共線(xiàn)的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．