Question

（2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模）在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無(wú)限繼續(xù)下去，設(shè)S_n為前n個(gè)圓的面積之和，則

lim

n→∞

s_n=

4πr²

．

Answer 1

分析：先確定內(nèi)切圓半徑組成以r為首項(xiàng)，

3

2

為公比的等比數(shù)列，從而圓的面積組成以πr²為首項(xiàng)，

3

4

為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求極限的值．

解答：解：依題意可知，圖形中內(nèi)切圓半徑分別為：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°cos30°）cos30°，…，即內(nèi)切圓半徑組成以r為首項(xiàng)，

3

2

為公比的等比數(shù)列
∴圓的面積組成以πr²為首項(xiàng)，

3

4

為公比的等比數(shù)列
∴

lim

n→∞

S_n=

πr2

1- 3 4

=4πr²
故答案為：4πr²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，避免出錯(cuò)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握正六邊形的性質(zhì)