Question

【題目】我國是世界嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬，試估計(jì)全市有多少居民？并說明理由；

（Ⅱ）若該市政府?dāng)M采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為和之間選取7戶居民作為議價(jià)水費(fèi)價(jià)格聽證會(huì)的代表，并決定會(huì)后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發(fā)“低碳環(huán)保家庭”獎(jiǎng)，設(shè)為用水量噸數(shù)在中的獲獎(jiǎng)的家庭數(shù)，為用水量噸數(shù)在中的獲獎(jiǎng)家庭數(shù)，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）30萬；（Ⅱ）.

【解析】

（1）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為，解出即可得出．
（2）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識，各組頻率之和的值為1，頻率 ，，可得，得a．據(jù)題意可知隨機(jī)變量的取值為0，2，4．利用相互獨(dú)立、互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

（Ⅰ）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為

所以假設(shè)全市的人數(shù)為（萬人），則有，解得

所以估計(jì)全市人數(shù)為30萬.

（Ⅱ）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識，各組頻率之和的值為1，因?yàn)轭l率 ，

所以，得，

用水量在之間的戶數(shù)為戶，而用水量在噸之間的戶數(shù)為戶，根據(jù)分層抽樣的方法，總共需要抽取7戶居民，所以用水量在之間應(yīng)抽取的戶數(shù)為戶，而用水量在噸之間的戶數(shù)為戶．

據(jù)題意可知隨機(jī)變量的取值為0,2,4．

，

，

，

其分布列為：

	0	2	4

期望為：．