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        1. 中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,率心率e=
          2
          2
          ,此橢圓與直線3x-3y+2
          3
          =0
          交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
          (1)求橢圓方程;
          (2)若M是橢圓上任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),求∠F1MF2的取值范圍.
          分析:(1)設(shè)橢圓方程為.
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          e=
          c
          a
          =
          2
          2
          ,
          a2-b2
          a2
          =
          1
          2
          ,a2=2b2.橢圓方程化簡(jiǎn)為 
          x2
          2b2
          +
          y2
          b2
          =1
          .橢圓與直線相交,解方程組:
          x2
          2b2
          +
          y2
          b2
          =1
          3x-3y+2
          3
          =0
          ?
          x2+2y2=2b2
          y=x+
          2
          3
          3
          ,由此能導(dǎo)出所求橢圓.
          (2)在橢圓
          x2
          2
          +y2=1
          中,a=
          2
          ,b=c=1
          ,|MF1|+|MF2|=2a,cos∠F1MF2=
          |MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2
          2|MF1|•|MF2|

          =-1+
          2a2-2c2
          -(|MF2|-a)2+a2
          ,其中:a≤|MF2|≤a+c.由此能導(dǎo)出F1MF2∈[0,
          π
          2
          ]
          解答:解:(1)設(shè)橢圓方程為.
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)

          e=
          c
          a
          =
          2
          2
          a2-b2
          a2
          =
          1
          2
          ,a2=2b2
          ∴橢圓方程化簡(jiǎn)為 
          x2
          2b2
          +
          y2
          b2
          =1

          ∵橢圓與直線相交,解方程組:
          x2
          2b2
          +
          y2
          b2
          =1
          3x-3y+2
          3
          =0
          ?
          x2+2y2=2b2
          y=x+
          2
          3
          3
          ,
          由①代入②,代簡(jiǎn)得3x2+
          8
          3
          3
          x+
          8
          3
          -2b2=0

          根據(jù)韋達(dá)定理,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
          x1+x2=-
          8
          3
          9
          x1x2=
          8
          9
          -
          2b2
          9

          ∵OA⊥OB,x1x2+y1y2=0,③
          由②得y1y2=x1x2+
          2
          3
          3
          (x1+x2)  +
          4
          3
          ,
          把④代入③,得2x1x2+
          2
          3
          3
          (x1+x2) +
          4
          3
          =0
          ,
          ∴b2=1
          ∴所求橢圓為
          x2
          2
          +y2=1

          (2)在橢圓
          x2
          2
          +y2=1
          中,a=
          2
          ,b=c=1
          ,
          ∵|MF1|+|MF2|=2a,
          cos∠F1MF2=
          |MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2
          2|MF1|•|MF2|

          =
          (2a-|MF2|)2+|MF2|2-4c2
          2(2a-|MF2|)•|MF2|

          =
          2|MF2|2-4a|MF2|+4a2-4c2
          4a|MF2|-2|MF2|2

          =-1+
          2a2-2c2
          2a|MF2|-|MF2|2

          =-1+
          2a2-2c2
          -(|MF2|-a)2+a2

          其中:a≤|MF2|≤a+c.
          當(dāng)|MF2|=a時(shí),cos∠F1MF2有最小值為0,
          此時(shí),∠F1MF2有最大值為
          π
          2

          當(dāng)|MF2|=a+c時(shí),即M點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸左端點(diǎn)重合,∠F1MF2有最小值為0,故F1MF2∈[0,
          π
          2
          ]
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓w的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為
          6
          3
          ,△ABC的頂點(diǎn)A,B在橢圓w上,C在直線l:y=x+2上,且AB∥l.
          (1)求橢圓w的方程;
          (2)當(dāng)AB邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí),求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積;
          (3)當(dāng)∠ABC=90°,且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí),求AB所在直線的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的兩段弧,則不等式f(x)<f(-x)+x的解集為( 。
          A、{x|-
          2
          <x<0或
          2
          <x≤2}
          B、{x|-2≤x<-
          2
          2
          <x≤2}
          C、{x|-2≤x<-
          2
          2
          2
          2
          <x≤2}
          D、{x|-
          2
          <x<
          2
          ,且x≠0}

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的兩段弧,則不等式f(x)<f(-x)+x的解集為( 。
          A、{
          2
          2
          <x≤2
          2
          2
          <x≤2
          }
          B、{x|-2≤x<
          2
          2
          <x≤2}
          C、{x|-
          2
          <x<0
          2
          <x≤2
          }
          D、{x|-
          2
          <x<
          2
          ,且x≠0}

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011年山西省孝義市高二第二次月考考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題

          (12分)

              已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12,離心率為.

          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (Ⅱ)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)作直線l垂直于x軸,若動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離比它到直線l的距離小4,求點(diǎn)M的軌跡方程.

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:東城區(qū)模擬 題型:解答題

          已知橢圓w的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為
          6
          3
          ,△ABC的頂點(diǎn)A,B在橢圓w上,C在直線l:y=x+2上,且ABl.
          (1)求橢圓w的方程;
          (2)當(dāng)AB邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí),求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積;
          (3)當(dāng)∠ABC=90°,且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí),求AB所在直線的方程.

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