Question

【題目】已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線.

（1）求的值；

（2）對(duì)任意的，都存在，使得，求的取值范圍；

（3）已知方程有兩個(gè)根，若，求證: .

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) 詳見解析.

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)， ，設(shè)直線與函數(shù)相切與點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得， ，解得，求出；（2）對(duì)任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)的方法分別求、的值域，即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意得,兩式相減得， ，所以，令，則，則，令，對(duì)求導(dǎo)，判斷的單調(diào)，證明.

試題解析：(1)設(shè)直線與相切于點(diǎn)，依題意得，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)： 符合題意.

(2) 由（1）得，所以，當(dāng)， 時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)， 時(shí)， ， ，當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)， ，依題意得 ，所以，解得.

(3) 依題意得,兩式相減得，所以，方程可轉(zhuǎn)化為，即，令，則，則，令，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.