Question

（2011•懷化一模）已知函數(shù)f（x）=

1

x

-3x+（2-a）lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)代入函數(shù)f（x）再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求極值
（2）先求導(dǎo)，討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性

解答：解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=

1

x

-3x+4lnx定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=-1/x2-3+

4

x

，令f′（x）＞0得3x2-4x+1＜0⇒

1

3

＜x＜1
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為（

1

3

，1），單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

3

）和（1，+∞）
極小值為f（

1

3

）=2-4ln3極大值為f（1）=-2
（2）f′（x）=-1/x²-3+

2-a

x

   f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
令f′（x）＞0得3x²-（2-a）x+1＜0
△=（2-a）²-12-a²-4a-8    由△≤0得2-2

3

≤a≤2+2

3

∴當(dāng)2-2

3

≤a≤2+2

3

時(shí)   不等式①無(wú)解  f′（x）≤0恒成立
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
令g（x）=3x²-（2-a）x+1   其對(duì)稱(chēng)軸為x=

2-a

6

當(dāng)

△＞0 2-a 6 ≤0

即a≥2+2

3

g（0）=1＞0
∴f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)

△＞0 2-a 6 ＞0

即a＜2-2√3時(shí)
方程 3x²-（2-a）x+1=0的兩根為x₁₂=

2-a± a2-4a-8

6

則不等式①的解為

2-a-  a2-4a-8

6

＜x 

2-a+ a2-4a-8

6

∴f（x）在（

2-a- a2-4a-8

6

，

2-a+ a2-4a-8

6

）單調(diào)遞增
在（0，

2-a- a2-4a-8

6

）和（

2-a+ a2-4a-8

6

，+∞）上單調(diào)遞減
綜上：當(dāng)a≥2-2

3

時(shí)
f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)a＜2-2√3時(shí)
f（x）在（

2-a- a2-4a-8

6

，

2-a+ a2-4a-8

6

）單調(diào)遞增
在（0，

2-a- a2-4a-8

6

）和（

2-a+ a2-4a-8

6

，+∞）上單調(diào)遞減

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，考查利用判別式，解答過(guò)程中注意x的取值范圍，最好在解答過(guò)程中把表格畫(huà)上，屬簡(jiǎn)單題，要會(huì)利用判別式討論a的取值范圍