Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AD＝１,AA₁＝AB＝２．點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為D₁C的中點(diǎn)．

(1)當(dāng)E點(diǎn)是AB中點(diǎn)時(shí),求證：直線ME‖平面ADD₁ A₁；
(2)若二面角AD₁ＥＣ的余弦值為．求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）證明：取的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN、，由三角形中位線定理得到
MN∥，AE∥，所以四邊形MNAE為平行四邊形，可知 ME∥AN，即得證.
（2）利用空間向量.
設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成計(jì)算平面的“法向量”夾角的余弦，建立的方程.
試題解析：（（1）證明：取的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN、，           1分
MN∥，AE∥，                        3分
四邊形MNAE為平行四邊形，可知 ME∥AN          4分


∥平面.                                  6分
（2）設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系         7分

，
平面的法向量為，由 及得                 9分
平面的法向量為，由 及得                   11分
，即，解得
所以                                                 12分