Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）證明：F（x）+F（1-x）=3，并求；
（Ⅱ）．已知等差數(shù)列{a_n}與{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n與T_n，且．當(dāng)m＞n時(shí)，比較與的大��；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，已知a₁=2，數(shù)列{b_n}的公差為d=2．探究在數(shù)列{a_n}與{b_n}中是否有相等的項(xiàng)，若有，求出這些相等項(xiàng)由小到大排列后得到的數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/39679.png' />（2分）
所以設(shè)S=；（1）
S=（2）
（1）+（2）得：
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/39683.png' />
所以．（7分）
所以；
所以當(dāng)m＞n≥1時(shí)，

=
=，∴（10分）

（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，當(dāng)a₁=2，d=2時(shí)

所以{-2+2b₁=-1

d₁=3
所以（12分）
假若存在數(shù)列{a_n}中的第n項(xiàng)與數(shù)列{b_n}中的第k項(xiàng)相等，
即
因?yàn)?k-1為奇數(shù)，6為偶數(shù)，所以不是整數(shù)，
所以在數(shù)列{a_n}與{b_n}中沒有相等的項(xiàng)．（14分）
分析：（Ⅰ）關(guān)于f（x）+f（1-x）=3的證明，只需代入解析式驗(yàn)證即可．求值時(shí)，我們利用f（x）+f（1-x）=3即和為1的兩個自變量對應(yīng)的函數(shù)值的和為3，再看共有多少對即可，
（Ⅱ）考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系．由等差數(shù)列第n項(xiàng)的比等于前2n-1項(xiàng)和的比可得，然后在比較大�。�
（Ⅲ）假若存在數(shù)列{a_n}中的第n項(xiàng)與數(shù)列{b_n}中的第k項(xiàng)相等，即，進(jìn)一步分析可得n不是整數(shù)，即可得結(jié)論．
點(diǎn)評：第一問：主要查清幾對即可．
第二問：兩個等差數(shù)列前n項(xiàng)的比值與前2n-1項(xiàng)和的比值相等這一規(guī)律最好記住，在解決填空與選擇題時(shí)可以加快速度．
第三問：要注意通項(xiàng)相等和第n項(xiàng)相等的區(qū)別．