Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線與的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）分別過(guò)作滿足，設(shè)與的上半部分分別交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）3.

【解析】（Ⅰ）由已知，根據(jù)橢圓對(duì)稱性易知橢圓過(guò)點(diǎn)，結(jié)合離心率及，即可求出橢圓方程；（Ⅱ）根據(jù)題意可設(shè)直線，，由弦長(zhǎng)公式可求出被橢圓截得的弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線距離公式可求出點(diǎn)到直線距離，從而可得的面積，并求出其最大值，由橢圓對(duì)稱性可知四邊形面積與的面積，從而問(wèn)題得解.

試題解析：（Ⅰ）易知橢圓過(guò)點(diǎn)，所以， ①

又， ②

， ③

③得，，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線，它與的另一個(gè)交點(diǎn)為.

與聯(lián)立，消去，得，

.

，

又到的距離為，

所以.

令，則，所以當(dāng)時(shí)，最大值為3.又

所以四邊形面積的最大值為3.