Question

【題目】已知圓： （），設(shè)為圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的弦，并使弦的中點(diǎn)恰好落在軸上．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）延長(zhǎng)交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，試判斷以點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑的圓與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）（）．（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由題意得 ，設(shè)中點(diǎn)為 則

得到關(guān)于 的方程就是點(diǎn) 的軌跡的方程.（2）設(shè)直線的方程為求出直線的方程并聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出距離則線段長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，由題意可知， ， 的中點(diǎn)， ，

因?yàn)?/span>， ， ．

在⊙C中，因?yàn)?/span>，∴，

所以，即（），

所以點(diǎn)的軌跡的方程為： （）．

（Ⅱ） 設(shè)直線MN的方程為， ， ，直線BN的方程為，

，可得，

，則點(diǎn)A，所以直線AM的方程為，

， ，可得，

直線BN的方程為，

聯(lián)立可得，

所以點(diǎn)， ， ，

∴與直線MN相切．