Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求的取值范圍；，
(2)若直線不經(jīng)過點(diǎn)，求證：直線的斜率互為相反數(shù).

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，用待定系數(shù)法，先設(shè)出橢圓方程，根據(jù)焦距和橢圓過，解出，得到橢圓方程，由于直線與橢圓有2個交點(diǎn)，所以聯(lián)立得到的關(guān)于的方程有2個不相等實(shí)根，所以利用求解；第二問，分析題意得只需證明，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用第一問得出的關(guān)于的方程找到，將化簡，把的結(jié)果代入即可得證.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/16/b/16tvu4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，解得，故橢圓方程為.   3分
將代入并整理得，
，解得.        6分
（2）設(shè)直線的斜率分別為和，只要證明.
設(shè)，則，.       9分
，
分子


所以直線的斜率互為相反數(shù).        12分
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理.