Question

已知函數f(x)=|2x+

a2+2a

x

-4a|，若f（x）在（0，+∞）上存在極大值點，則實數a的取值范圍是

a＞2

．

Answer 1

分析：利用函數y=x+

a

x

的單調性解題，當x＞0時，函數y=x+

a

x

在(0，

a

)遞減，在(

a

，+∞)遞增，則函數在x=

a

處取得極小值，要使f（x）在（0，+∞）上存在極大值點，則只需極小值小于0即可．

解答：解：設g(x)=2x+

a2+2a

x

-4a=2(x+

a2+2a 2

x

)-4a，要想使函數有極值，則有a²+2a＞0，此時a＞0或a＜-2．
此時函數g（x）在

a2+2a 2

取得極小值，此時最小值為g(x)=2x+

a2+2a

x

-4a≥2

2x? a2+2a x

-4a=2

2(a2+2a)

-4a，
所以當極小值2

2(a2+2a)

-4a＜0時，加上絕對值極小值變?yōu)闃O大值，由2

2(a2+2a)

-4a＜0解得a＞2，所以實數a的取值范圍是a＞2．
故答案為：a＞2

點評：本題考查函數的極值與導數的關系，以及基本不等式的應用．對應函數y=x+

a

x

的單調性要求掌握，當x＞0時，函數y=x+

a

x

在(0，

a

)遞減，在(

a

，+∞)遞增，則函數在x=

a

處取得極小值，要熟練掌握其應用．