Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜1．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．根據(jù)a₁和a₃的值求得d，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{log₂（a_n-1）}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

中，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=1-

1

2n

原式得證．

解答：（I）解：設(shè)等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．
由a₁=3，a₃=9得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，即d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+1．
（II）證明：因?yàn)?span id="zgz76ih" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2  - 1 2n × 1 2

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
即得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．屬基礎(chǔ)題．