Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₂=5，則

lim

n→∞

（

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

）=（　　）

• A、2
• B、

  3

  2

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意，數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，

an-1

an-1-1

=2^d，又由a₁=3，a₂=5，可得

an-1

an-1-1

=2，則可得{a_n-1}是以a₁-1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可得a_n=2ⁿ+1，結(jié)合題意有a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，代入可得答案．

解答：解：數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，
即

an-1

an-1-1

=2^d，又由a₁=3，a₂=5，
則d=1，即

an-1

an-1-1

=2，
{a_n-1}是以a₁-1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
進(jìn)而可得，a_n-1=2ⁿ，則a_n=2ⁿ+1，
故a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
則

lim

n→∞

（

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

）=

lim

n→∞

（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

）=1，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)與極限的運(yùn)算，注意與對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的結(jié)合運(yùn)用時(shí)，往往同時(shí)涉及等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，是一個(gè)難點(diǎn)．