Question

【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若－1＜f(1)＜1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝ (2)∪(2，＋∞)．

【解析】

（1）利用代入法求出函數(shù)在x＜0時(shí)的解析式，即得函數(shù)f(x)的解析式；（2）對(duì)a分類(lèi)討論，解不等式－1＜loga2＜1得解.

(1)當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，

由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)，

又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．

∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝loga(－x＋1)，

∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝

(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1，

∴loga＜loga2＜logaa.

①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)于解得a＞2；

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式等價(jià)于

解得0＜a＜.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪(2，＋∞)．