Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a∈R）.

（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[-1,2]上的最值；

（Ⅱ）若過點(diǎn)P（1,4）可作曲線y=f（x）的3條切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的極值和端點(diǎn)值，比較可得函數(shù)的最值；（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)，進(jìn)而得直線的斜率為，若曲線有3條切線，則方程有3個實(shí)數(shù)根， 即方程有3個根，然后構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性、極值求解。

試題解析：

（Ⅰ）∵ f（x）=

，

由解得或；

由解得，

又，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又 ，

∴最大值是，最小值是．

(Ⅱ) 設(shè)切點(diǎn)

∴直線的斜率為

，

整理得，

由題意知此方程應(yīng)有3個解．

令，

∴，

由解得或，由解得，

∴ 函數(shù)在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

∴ 當(dāng)時， 有極大值，且極大值為；

當(dāng)時， 有極小值，且極小值為；

要使得方程有3個根，

則，

解得，

∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍為．