Question

（2013•永州一模）某企業(yè)為加大對新產(chǎn)品的推銷力度，決定從今年起每年投入100萬元進行廣告宣傳，以增加新產(chǎn)品的銷售收入．已知今年的銷售收入為250萬元，經(jīng)市場調(diào)查，預(yù)測第n年與第n-1年銷售收入a_n與a_n-1萬元滿足關(guān)系式：a_n=a_n-1+

500

2n

-100．
（1）設(shè)今年為第一年，求第n年的銷售收入a_n；
（2）依上述預(yù)測，該企業(yè)前幾年的銷售收入總和S_n最大．

Answer 1

分析：（1）在數(shù)列遞推式中分別取n=n，n=n-1，…，n=2，寫出a1=250=

500

2

，累加后即可得到第n年的銷售收入a_n；
（2）企業(yè)前n年的銷售收入總和S_n的最大值即為年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和，由a_n≥0得到

1

2n

+

n-1

5

≤1．求出滿足b_n=

1

2n

+

n-1

5

≤1的n的值即可得到答案．

解答：解：（1）題意可知an-an-1=

500

2n

-100．
an-1-an-2=

500

2n-1

-100．
…
a3-a2=

500

23

-100．
a2-a1=

500

22

-100．
a1=250=

500

2

．
以上各式相加得：
an=500(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)-100(n-1)
=500•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-100n+100
=500-

500

2n

-100(n-1) 
（2）要求銷售收入總和S_n的最大值，即求年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和．
∵a_n=500-

500

2n

-100(n-1)．
要使a_n≥0，
即使500-

500

2n

-100(n-1)≥0，
也就是使

1

2n

+

n-1

5

≤1．
令b_n=

1

2n

+

n-1

5

，
則有b_n-b_n-1=

1

2n

+

n-1

5

-

1

2n-1

-

n-2

5

=

1

5

-

1

2n

．
顯然，當n≥3時，b_n＞b_n-1，
而b₅＜1，b₆＞1
∴a₅＞0，a₆＜0
∴該企業(yè)前5年的銷售收入總和最大．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了類加法求數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．