Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間，減區(qū)間；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，在函數(shù)定義或內(nèi)，通過解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間；（2）要證明題設(shè)不等式，首先要確定的性質(zhì)．由（1）函數(shù)的單調(diào)性知，同時(shí)由得，，從而，從要證明的結(jié)論可以看出 ，我們要證明，由于在上是遞增的，因此可證，作差，，下面要證，設(shè),由導(dǎo)數(shù)求出它的最大值，只要最大值小于0，命題即證．

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí) 所以 在遞增

當(dāng)時(shí) 所以 在遞減

（2）由(1)可設(shè)的兩個(gè)相異實(shí)根分別為，滿足

且，

由題意可知

又有(1)可知在遞減

故

所以

令

令，

則．

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，所以

所以當(dāng)時(shí)，，即

因?yàn)?/span>， 在上單調(diào)遞增，

所以，故．

綜上所述：