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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知a,b,c是實數,函數f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當-1≤x≤1時|f(x)|≤1。
          (1)證明: |c|≤1;
          (2)證明:當-1 ≤x≤1時,|g(x)|≤2;
          (3)設a>0,有-1≤x≤1時,g(x)的最大值為2,求f(x)。
          (1) 證明略,(2)證明略(3) f(x)=2x2-1
           由條件當=1≤x≤1時,|f(x)|≤1,
          x=0得 |c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1 
          (2)證法一: 依題設|f(0)|≤1而f(0)=c,
          所以|c|≤1。 當a>0時,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函數,
          于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1)。 
          ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
          g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
          g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
          因此得|g(x)|≤2  (-1≤x≤1);
          a<0時,g(x)=ax+b在[-1,1]上是減函數,
          于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
          ∵|f(x)|≤1  (-1≤x≤1),|c|≤1
          ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2。
          綜合以上結果,當-1≤x≤1時,都有|g(x)|≤2。
          證法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
          ∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
          f(x)=ax2+bx+c,∴|ab+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
          因此,根據絕對值不等式性質得:
          |ab|=|(ab+c)-c|≤|ab+c|+|c|≤2,
          |a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
          g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
          函數g(x)=ax+b的圖象是一條直線,
          因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在區(qū)間的端點x=-1或x=1處取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1。

          當-1≤x≤1時,有0≤≤1,-1≤≤0,
          ∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
          因此當-1≤x≤1時,|g(x)|≤|f |+|f()|≤2。
          (3)解: 因為a>0,g(x)在[-1,1]上是增函數,當x=1時取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2。                             ①
          ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1。
          因為當-1≤x≤1時,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
          根據二次函數的性質,直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸,
          由此得-<0 ,即b=0。
          由①得a=2,所以f(x)=2x2-1。
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知二次函數的圖象如圖所示,試判斷的符號。

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          (本題滿分12分)
          函數
          (1)若f(-1)=0,并對恒有,求的表達式;
          (2)在(1)的條件下,對,=—kx是單調函數,求k的范圍。

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知二次函數,不等式的解集為.
          (1)求函數的解析式;
          (2)解不等式:
          (3)若上是增函數,求實數的取值范圍.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知函數
          (1)若[1,+∞上是增函數,求實數的取值范圍;
          (2)若x=3是的極值點,求[1,]上的最小值和最大值.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

          已知二次函數的圖象過點,且頂點到x軸的距離等于2,求此二次函數的表達式.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

          已知函數則      (   )
          A.   B.
          C.       D.的大小不能確定

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

          二次函數∈R)的部分對應值如下表:

          -3
          -2
          -1
          0
          1
          2
          3
          4

          6
          0
          -4
          -6
          -6
          -4
          0
          6
          則不等式的解集是            

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

          已知函數f(x)=x2+mx+nlnx(x>0,實數m,n為常數).且n+3m2=0(m>0),若函數f(x)在x∈[1,+∞)上的最小值為0,則m=( 。
          A.e
          2
          3
          B.e
          3
          2
          C.
          3
          2
          D.-1

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