Question

已知a，b，c是實數，函數f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b，當－1≤x≤1時|f(x)|≤1。
(1)證明： |c|≤1；
(2)證明：當－1 ≤x≤1時，|g(x)|≤2；
(3)設a＞0，有－1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)。

Answer 1

(1) 證明略，(2)證明略(3) f(x)=2x²－1

 由條件當=1≤x≤1時，|f(x)|≤1，
取x=0得 |c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1 
(2)證法一： 依題設|f(0)|≤1而f(0)=c，
所以|c|≤1。 當a＞0時，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函數，
于是g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1)。 
∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，
∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，
g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，
因此得|g(x)|≤2  (－1≤x≤1)；
當a＜0時，g(x)=ax+b在［－1，1］上是減函數，
于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，
∵|f(x)|≤1  (－1≤x≤1)，|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2。
綜合以上結果，當－1≤x≤1時，都有|g(x)|≤2。
證法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)
∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，
∵f(x)=ax²+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，
因此，根據絕對值不等式性質得：
|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，
|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，
∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，
函數g(x)=ax+b的圖象是一條直線，
因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在區(qū)間的端點x=－1或x=1處取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1。

當－1≤x≤1時，有0≤≤1，－1≤≤0，
∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f |≤1，|f()|≤1；
因此當－1≤x≤1時，|g(x)|≤|f |+|f()|≤2。
(3)解： 因為a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函數，當x=1時取得最大值2，即g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2。                             ①
∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1。
因為當－1≤x≤1時，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，
根據二次函數的性質，直線x=0為f(x)的圖象的對稱軸，
由此得－＜0 ，即b=0。
由①得a=2，所以f(x)=2x²－1。