Question

函數(shù)f（x）=2x²-2ax-2a-1（-1≤x≤1）的最小值為g（a）（a∈R）．
（1）求g（a）；
（2）若g（a）=

1

2

，求a及此時f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）求得函數(shù)f（x）=2x²-2ax-2a-1（-1≤x≤1）的對稱軸x=

a

2

，分區(qū)間[-1，1]在對稱軸的左側(cè)，右側(cè)、對稱軸穿過區(qū)間[-1，1]討論即可求得f（x）的最小值為g（a）（a∈R）；
（2）根據(jù)g（a）=

1(a＜-2) - a2 2 -2a-1(-2≤a≤2) -4a+1(a＞2)

，若g（a）=

1

2

，只有-

a2

2

-2a-1=

1

2

（-2≤a≤2）符合，從而求得a，繼而求得此時f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵f(x)=2x2-2ax-2a-1=2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1
∴（�。�

a

2

＜-1即a＜-2時，g（a）=1．
（ⅱ）-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，g（a）=-

a2

2

-2a-1
（ⅲ）

a

2

＞1即a＞2時，g（a）=-4a+1　　�。�5分）
∴g（a）=

1，(a＜-2) - a2 2 -2a-1，(-2≤a≤2) -4a+1，(a＞2)

　　　�。�6分）
（2）∵g（a）=

1

2

，
∴-

a2

2

-2a-1=

1

2

（-2≤a≤2），
∴a=1　　　　　�。�9分）
此時，f(x)=2(x+

1

2

)2+

1

2

，f(x)max=5（12分）

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求g（a）的關(guān)鍵在于根據(jù)對稱軸在給定區(qū)間上的左側(cè)、右側(cè)及穿過區(qū)間的情況確定，屬于中檔題．