Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²+ax-2-lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的取值范圍．
（參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.0986）

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導數(shù)：f′（x）=2x+a-，由函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進而構造關于a的不等式，進而可求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）把a=1代入，結合（1）可判斷出函數(shù)f（x）在區(qū)間[，1]上的值域，進而可得實數(shù)c的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=2x+a-≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥-2x在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=-2x，則函數(shù)g（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴當x=1時，函數(shù)g（x）取最大值-1
∴a≥-1，即實數(shù)a的取值范圍為[-1，+∞）
（2）當a=1時，f（x）=x²+x-2-lnx．f′（x）=2x+1-=
當x∈[，]時，f′（x）≤0，此時函數(shù)為減函數(shù)
當x∈[，1]時，f′（x）≥0，此時函數(shù)為增函數(shù)
故當x=時，f（x）取最小值ln2-
當x=1時，f（x）取最大值0
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤-ln2
∴c≥-ln2
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，導數(shù)在最大值，最小值問題中的應用，熟練掌握導數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系是解答的關鍵．