Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的取值范圍；
（2）設(shè)A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，設(shè)P（x，y），則可得

PF1

=(-

3

-x，y)，

PF2

=(

3

-x，y)
，代入向量的數(shù)量積可得

PF1

•

PF2

=

1

4

(3x2-8)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），聯(lián)立

y=kx x2 4 +y2=1

消去y整理可得（1+4k²）x²=4，解方程可求x₁，x₂
根據(jù)點到直線的距離公式可求，點E，F(xiàn)到直線AB的距離h₁，h₂，代入四邊形AEBF的面積為S=

1

2

|AB|(h1+h2)，結(jié)合基本不等式可求面積的最大值

解答：解：（1）由題意可知a=2，b=1，
∵c=

a2-b2

=

3

∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，設(shè)P（x，y）
∴

PF1

=(-

3

-x，y)，

PF2

=(

3

-x，y)

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，y)•(

3

-x，y)=x²+y²-3（3分）
=x2+1-

x2

4

-3=

1

4

(3x2-8)
由橢圓的性質(zhì)可知，-2≤x≤2
∴0≤x²≤4，
∴-2≤

3x2-8

4

≤1
故-2≤

PF1

•

PF2

≤1（5分）
（2）設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），聯(lián)立

y=kx x2 4 +y2=1

消去y整理可得（1+4k²）x²=4
∴x1=-

2

4k2+1

，x2=

2

4k2+1

（7分）
∵A（2，0），B（0，1）
∴直線AB的方程為：x+2y-2=0
根據(jù)點到直線的距離公式可知，點E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為
h1=

|x1+2kx1-2|

5

=

2(1+2k+ 1+4k2 )

5(1+4k2)

（8分）
h2=

|x2+2kx2-2|

5

=

2(1+2k- 1+4k2 )

5(1+4k2)

∴h1+h2=

4(1+2k)

5(1+4k2)

（9分）
∴|AB|=

22+1

=

5

∴四邊形AEBF的面積為S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

×

5

×

4(1+2k)

5(1+4k2)

=

2(1+2k)

1+4k2

= 2

1+4k+4k2 1+4k2

（10分）

=2

1+ 4 4k+ 1 k

≤2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)4k=

1

k

即k=

1

2

時，上式取等號，所以S的最大值為2

2

（12分）

點評：本題主要考查了由橢圓的方程及解橢圓的性質(zhì)，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于直線與圓錐曲線的綜合性試題