Question

【題目】設定義域為R的奇函數(shù) （a為實數(shù)）． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性（不必證明），并求出f（x）的值域；
（Ⅲ）若對任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣ ）+f（2﹣x）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，從而a=1，此時 ，經(jīng)檢驗，f（x）為奇函數(shù)，所以a=1滿足題意． （Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ，
所以f（x）在R上單調(diào)遞減，
由2x＞0知2x+1＞1，所以 ，
故得f（x）的值域為 ．
（Ⅲ）因為f（x）為奇函數(shù)，故由 得 ，
又由（Ⅱ）知f（x）為減函數(shù)，故得 ，即 ．
令 ，則依題只需k＜gmin（x）．
由”對勾“函數(shù)的性質(zhì)可知g（x）在 上遞減，在 上遞增，所以 ．
故k的取值范圍是 ．
【解析】（Ⅰ）由f（0）=0，可求得a的值；（Ⅱ）可判斷f（x）在R上單調(diào)遞減，由 可求得 的值域；（Ⅲ）由任意的x∈[1，4]，不等式f（k﹣ ）+f（2﹣x）＞0恒成立可得 ，構造函數(shù)令 ，利用”對勾“函數(shù)的性質(zhì)可求得gmin（x），從而可求得實數(shù)k的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題．