Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）所求切線方程為；（2）

【解析】

試題（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的幾何意義可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）要證，只需證，利用導(dǎo)數(shù)研究兩函數(shù)的單調(diào)性，從而求出兩函數(shù)的最值即可證明，進(jìn)而可得結(jié)論.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)?/span>，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）證明：要證，只需證，

設(shè)，

則，

令得，令得，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又，所以，

從而，即.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.