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        1. 已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)的離心率e=
          2
          3
          3
          ,直線l過(guò)A(a,0),B(0,-b)兩點(diǎn),原點(diǎn)O到直線l的距離是
          3
          2

          (1)求雙曲線的方程;
          (2)過(guò)點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn),若
          OM
          ON
          =-23,求直線m的方程.
          分析:(1)先求出直線l的方程,再點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于a,b,c的方程,解這個(gè)方程求出a,b,從而得到雙曲線的方程.
          (2)設(shè)m方程為y=kx-1,則點(diǎn)M、N坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組
          y=kx-1
          x2
          3
          -y2=1
          的解,消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.由根與系數(shù)關(guān)系和題設(shè)條件推導(dǎo)出k的值,從而求出直線m的方程.
          解答:解:(1)依題意,l方程
          x
          a
          +
          y
          -b
          =1,即bx-ay-ab=0,由原點(diǎn)O到l的距離為
          3
          2
          ,得
          ab
          a2+b2
          =
          ab
          c
          =
          3
          2
          ,又e=
          c
          a
          =
          2
          3
          3

          ∴b=1,a=
          3

          故所求雙曲線方程為
          x2
          3
          -y2=1.
          (2)顯然直線m不與x軸垂直,設(shè)m方程為y=kx-1,
          則點(diǎn)M、N坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組
          y=kx-1
          x2
          3
          -y2=1
          的解,
          消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.①
          依題意,1-3k2≠0,由根與系數(shù)關(guān)系,
          知x1+x2=
          6k
          3k2-1
          ,x1x2=
          6
          3k2-1

          OM
          ON
          =(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2
          =x1x2+(kx1-1)(kx2-1)
          =(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1
          =
          6(1+k2)
          3k2-1
          -
          6k2
          3k2-1
          +1=
          6
          3k2-1
          +1.
          又∵
          OM
          ON
          =-23,
          6
          3k2-1
          +1=-23,k=±
          1
          2
          ,
          當(dāng)k=±
          1
          2
          時(shí),方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
          ∴方程為y=
          1
          2
          x-1或y=-
          1
          2
          x-1.
          點(diǎn)評(píng):本題是雙典線的綜合題,重點(diǎn)考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,具有一定的難度.解題時(shí)要注意根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運(yùn)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          7
          =1
          ,直線l過(guò)其左焦點(diǎn)F1,交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn),且|AB|=4,F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn),△ABF2的周長(zhǎng)為20,則此雙曲線的離心率e=
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1
          的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,且該雙曲線的離心率為
          5
          ,則該雙曲線的漸近線方程為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(b>a>0)
          ,O為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率e=2,點(diǎn)M(
          5
          ,
          3
          )
          在雙曲線上.
          (1)求雙曲線的方程;
          (2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且
          OP
          OQ
          =0
          .問(wèn):
          1
          |OP|2
          +
          1
          |OQ|2
          是否為定值?若是請(qǐng)求出該定值,若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),則該直線過(guò)定點(diǎn)
          (-2,1)
          (-2,1)

          (2)已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1的一條漸近線方程為y=
          4
          3
          x,則雙曲線的離心率為
          5
          3
          5
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1
          (a>0,b>0)滿足
          a1
          b
          2
           |=0
          ,且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
          3
          x
          的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的方程為
           

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