Question

【題目】已知橢圓： （）的焦距為，點(diǎn)在上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)的軌跡為曲線，過原點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，證明： 為定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知：c= ，根據(jù)橢圓定義可求得a，根據(jù)b2=a2-c2可得b；（Ⅱ）分直線的斜率為0，不為0兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)直接按照向量數(shù)量積運(yùn)算即可；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為： ， ， ．聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的一元二次方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式代入運(yùn)算可得結(jié)論；

試題解析：

（Ⅰ）由已知得，解得， 橢圓的方程為.

（Ⅱ）由條件可得， 曲線的方程為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)， ，則， ， ；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，可設(shè)點(diǎn)， ，

則， ， ，

把點(diǎn)代入曲線的方程得， .

綜上可知， .