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        1. 如圖,已知橢圓(a>b>0),M為橢圓上的一個動點,F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點,A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點.當(dāng)MF2⊥F1F2時,原點O到直線MF1的距離為|OF1|.
          (1)求a,b滿足的關(guān)系式;
          (2)當(dāng)點M在橢圓上變化時,求證:∠F1MF2的最大值為;
          (3)設(shè)圓x2+y2=r2(0<r<b),G是圓上任意一點,過G作圓的切線交橢圓于Q1,Q2兩點,當(dāng)OQ1⊥OQ2時,求r的值.(用b表示)

          【答案】分析:(1)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A(a,c),B(0,b),因為MF2⊥F1F2,所以點M坐標(biāo)為 ,由此能夠求出a=
          (2)設(shè)MF1=m,MF2=n,m+n=2a,由余弦定理得=.因為,所以cos∠F1MF2≥0,由此能夠證明:∠F1MF2的最大值為
          (3)設(shè)G(rcosθ,rsinθ)圓上任意一點,過G點的切線交該橢圓于Q1(x1,x2),Q2(x2,y2),則切線l的法向量為(rcosθ,rsinθ),直線l的方程為xcosθ+ysinθ-r=0,聯(lián)立方程組,能夠推導(dǎo)出r=
          解答:解:(1)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),A(a,c),B(0,b),
          因為MF2⊥F1F2,所以點M坐標(biāo)為 ,
          所以MF1方程b2x-2axy+b2c=0,
          O到MF1距離,整理得2b4=a2c2,
          所以解得a=
          (2)設(shè)MF1=m,MF2=n,m+n=2a,
          由余弦定理得
          =
          =
          因為,
          所以cos∠F1MF2≥0,
          當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a=,cos∠F1MF2=0,
          由三角形內(nèi)角及余弦單調(diào)性知有最大值
          (3)設(shè)G(rcosθ,rsinθ)圓上任意一點,過G點的切線交該橢圓于Q1(x1,x2),Q2(x2,y2),
          則切線l的法向量為(rcosθ,rsinθ),直線l的方程為xcosθ+ysinθ-r=0,
          聯(lián)立方程組,
          ①cosθ=0時,|OG|=|Q1G|=|Q2G|,所以r=,即:r=;
          ②cosθ≠0時,由,
          得(1+cos2θ)y2-2rsinθy+r2-2b2cos2θ=0,
          所以
          因為x1x2cos2θ=r2-(y1+y2)rsinθ+sin2θ,
          由OQ1⊥OQ2得,x1x2cos2θ+y1y2cos2θ=r2-(y1+y2)rsinθ+y1y2=0
          所以3r2cos2θ=2b2cos2θ,從而r=;
          由①、②知,r=
          點評:本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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          (本題滿分14分)

          如圖,已知橢圓=1(ab>0),F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上的頂點,直線AF2交橢圓于另 一點B.

          (1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;

          (2)若=2·,求橢圓的方程.

           

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          如圖,已知橢圓(a>b>0)的離心率,過頂點A、B的直線與原點的距離為

           

           

          (1)求橢圓的方程.

          (2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.

           

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          (1)求橢圓的方程.

          (2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.

          問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.

           

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          如圖,已知橢圓(a>b>0)的離心率,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為

           

           

          (1)求橢圓的方程.

          (2)已知定點E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點.問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由.

           

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          (示范高中)如圖,已知橢圓(a>b>0)的離心率,過點的直線與原點的距離為

          (1)求橢圓的方程;

          (2)已知定點,若直線與橢圓交于、兩點.問:是否存在的值,使以為直徑的圓過點?請說明理由.

           

           

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