Question

【題目】已知數(shù)列滿足，時，．

（1）當(dāng)時，求數(shù)列的前項和；

（2）當(dāng)時，求證：對任意，為定值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意首先證明出該數(shù)列為等比數(shù)列，并把數(shù)值代入到等比數(shù)列的前項和公式計算出結(jié)果即可．

（2）由已知可證出數(shù)列的通項公式，進而分析可得出這是一個等差等比結(jié)構(gòu)，利用錯位相減法求和可到，進而得到的通項公式，再對分情況然后結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法對上式進行推理證明即可．

解：（1）當(dāng)時，．

數(shù)列是以，公比為2的等比數(shù)列．

所以．

（2）當(dāng)時，時，

∴．

令，∴

∴①

,

這是一個等差乘等比結(jié)構(gòu)，利用錯位相減法求和

由②

兩式①②相減得

∴

∴于是

∴．

，為定值，時，也滿足，

因此，對任意，為定值3．

（2）（數(shù)學(xué)歸納法）令，

當(dāng)時，．

假設(shè)時命題成立，即．

即

由題設(shè)

．

所以，即時，命題也成立

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納原理，所命題得證．