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        1. (2012•順義區(qū)一模)已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)M(2,0),且被y軸截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn)C.
          (Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程;
          (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),若在x軸上存在定點(diǎn)P(a,0),使PM平分∠APB,求P點(diǎn)的坐標(biāo).
          分析:(I)設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為(x,y),利用垂徑定理和兩點(diǎn)間的距離公式即可得到 22+|x|2=(x-2)2+y2,化簡(jiǎn)即可.
          (II)解法1:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為x=my+2.將直線(xiàn)AB的方程與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立,消去x得:y2-4my-8=0.
          得到根與系數(shù)的關(guān)系y1+y2=4m,y1y2=-8.由PM平分∠APB,則直線(xiàn)PA,PB的傾斜角互補(bǔ),可得kPA+kPB=0.
          利用斜率計(jì)算公式可得 
          y1
          x1-a
          +
          y2
          x2-a
          =0
          .將 x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,整理得 
          2my1y2+(2-a)(y1+y2)
          (my1+2-a)(my2+2-a)
          =0
          ,
          即 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.把 y1+y2=4m,y1y2=-8代入上式,(a+2)•m=0對(duì)任意實(shí)數(shù)m都成立,即可得到a的值;
          解法2:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),①當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線(xiàn)斜率不存在,
          則lAB:x=2,A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),x軸上任意一點(diǎn)P(a,0)(a≠2)均滿(mǎn)足PM平分∠APB,不合題意.
          ②當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的斜率k存在時(shí)(k≠0),設(shè)lAB:y=k(x-2),與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,消去y得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0,△=32k2+16>0,得到根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=
          4k2+4
          k2
          ,x1x2=4;由已知PM平分∠APB,則直線(xiàn)PA,PB的傾斜角互補(bǔ),可得kPA+kPB=0.以下類(lèi)比解法1.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為(x,y).
          依題意,有 22+|x|2=(x-2)2+y2,化簡(jiǎn)得 y2=4x.
          所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y2=4x.
          (Ⅱ)解法1:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為x=my+2.
          將直線(xiàn)AB的方程與曲線(xiàn)C的方程聯(lián)立,消去x得:y2-4my-8=0.
          所以y1+y2=4m,y1y2=-8.
          若PM平分∠APB,則直線(xiàn)PA,PB的傾斜角互補(bǔ),所以kPA+kPB=0.
          ∵P(a,0),則有 
          y1
          x1-a
          +
          y2
          x2-a
          =0

          將 x1=my1+2,x2=my2+2代入上式,整理得 
          2my1y2+(2-a)(y1+y2)
          (my1+2-a)(my2+2-a)
          =0
          ,
          所以 2my1y2+(2-a)(y1+y2)=0.
          將 y1+y2=4m,y1y2=-8代入上式,
          得 (a+2)•m=0對(duì)任意實(shí)數(shù)m都成立,
          所以a=-2.故定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0).
          解法2:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
          當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線(xiàn)斜率不存在,
          則lAB:x=2,A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),x軸上任意一點(diǎn)P(a,0)(a≠2)均滿(mǎn)足PM平分∠APB,不合題意.
          當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)的斜率k存在時(shí)(k≠0),設(shè)lAB:y=k(x-2),
          聯(lián)立
          y=k(x-2)
          y2=4x
          ,消去y得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0,
          △=32k2+16>0,x1+x2=
          4k2+4
          k2
          ,x1x2=4,
          ∵PM平分∠APB,則直線(xiàn)PA,PB的傾斜角互補(bǔ),∴kPA+kPB=0.
          ∵P(a,0),(a≠2),則有 
          y1
          x1-a
          +
          y2
          x2-a
          =0

          將y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)代入上式,
          整理得 
          k(x1-2)(x2-a)+k(x2-2)(x1-a)
          (x1-a)(x2-a)
          =0
          ,
          ∴k(x1-2)(x2-a)+k(x2-2)(x1-a)=0
          整理得2x1x2-(x1+x2)(2+a)+4a=0,
          x1+x2=
          4k2+4
          k2
          ,x1x2=4代入化簡(jiǎn)得a=-2,
          故定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0).
          點(diǎn)評(píng):本小題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、垂徑定理、兩點(diǎn)間的距離公式、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等
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          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1  (a>b>0)
          的離心率為
          2
          2
          ,⊙M過(guò)橢圓G的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),圓心M在此橢圓上,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)是( 。

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