如圖，已知四棱錐
，底面
是等腰梯形，
且
∥
，
是中點，
平面，
， 
是
中點．
（1）證明：平面
平面
；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
（1）詳見解析；（2）
解析試題分析：（1）根據(jù)中位線可得
∥
，從而可證得∥平面。證四邊形
為平行四邊形可得
∥平面，從而可證得平面平面。（2）法一：延長
、
交于點
，連結(jié)
，則
平面
，易證△
與△
全等。過
作的垂線，則
與垂足的連線也垂直。由二面角的平面角的定義可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空間向量法。由題意可以
為坐標原點建立空間直角坐標系。根據(jù)各點的坐標求出個向量的坐標，在根據(jù)數(shù)量積公式求各面的法向量，在用數(shù)量積公式求其兩法向量夾角的余弦值。注意兩法向量所成的角可能與二面角相等也可能為其補角。
試題解析：(1) 證明：
且
∥
，2分
則平行且等于
，即四邊形為平行四邊形，所以
.
6分
(2) 『解法1』：
延長、交于點，連結(jié)，則平面，易證△與△全等，過作
于
，連
，則
，由二面角定義可知，平面角
為所求角或其補角.
易求
，又
，
，由面積橋求得
，所以
所以所求角為
，所以
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
『解法2』：
以為原點，
方向為
軸，以平面
內(nèi)過點且垂直于
方向為
軸 以
方向為
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F(xiàn)，G，H分別為BE，AE，BC的中點
（1）求證：DE∥平面FGH；
（2）若點P在直線GF上，
=λ
，且二面角D﹣BP﹣A的大小為
，求λ的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=
BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，PG=4
（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）若F點是棱PC上一點，且
，
，求
的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，
于
，延長AE交BC于F，將
ABD沿BD折起，使平面ABD
平面BCD，如圖2所示.
（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在線段
上是否存在點
使得
平面
？若存在,請指明點
的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.
（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求
的值；
（3）寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置（結(jié)論不要求證明）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD
底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，
，
，
．
(1)求證：BC平面PBD：
(2)求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
(3)設E為側(cè)棱PC上異于端點的一點，
，試確定
的值，使得二面角E－BD－P的余弦值為
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱
，
，M、N兩點分別在側(cè)棱PB、PD上，
.
(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．
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