Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）試確定函數(shù)y=f（x）（x≥0）單調(diào)區(qū)間，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)偶函數(shù)的定義可知f（-x）=f（x），設(shè)x＜0則-x＞0，代入當(dāng)x≥0時(shí)f（x）的解析式即可求出x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）設(shè)x₁，x₂是區(qū)間[0，+∞）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0≤x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可．

解答：解：（1）若x＜0則-x＞0，∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f(x)=f(-x)=

-7(-x)

(-x)2+(-x)+1

=

7x

x2-x+1

（2）設(shè)x₁，x₂是區(qū)間[0，+∞）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）f(x1)-f(x2)=

-7x1

x 2 1 +x1+1

-

-7x2

x 2 2 +x2+1

=

7(x1-x2)(x1x2-1)

( x 2 1 +x1+1)( x 2 2 +x2+1)

當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0而x₁²+x₁+1＞0及x₂²+x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x）在[0，1]上為減函數(shù)．
同理當(dāng)1＜x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)的解析式等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．