Question

【題目】在等腰梯形中，，，，是的中點，將梯形繞旋轉，得到梯形（如圖）.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出BC∥平面ADD'，BC'∥平面ADD'，從而平面BCC'∥平面ADD'，由此能證明NC'∥平面ADD'．

（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AC′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣C'N﹣C的余弦值．

（1）證明：∵BC∥AD，∴BC∥平面ADD'，

同理BC'∥平面ADD'，

又BC∩BC'＝B，∴平面BCC'∥平面ADD'，

∵NC'平面BCC'，∴NC'∥平面ADD'．

（2）解：，是的中點，，又 四邊形是平行四邊形，，又

，，四邊形是菱形，，

，即，又平面平面，平面平面 ，平面

平面， 平面.

如圖建立空間直角坐標系，

設，則，，，

，，，設平面的法向量為.

則即

取，則，，

平面，平面 平面，又，平面平面，平面，與交于點，則為的中點，，平面的法向量

.，

由圖形可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.