Question

（2013•深圳一模）已知f(x)=x-

a

x

(a＞0)，g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x-2與曲線y=g（x）相切．
（1）若對(duì)[1，+∞）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得對(duì)[e，3]（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立；
（3）求證：

n

i=1

4i

4i2-1

＞ln(2n+1)(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)出直線y=2x-2與曲線y=g（x）的切點(diǎn)，把切點(diǎn)代入兩曲線方程后聯(lián)立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分離變量a后對(duì)函數(shù)進(jìn)行兩次求導(dǎo)得到函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)的最小值，則實(shí)數(shù)a的范圍可求；
（2）當(dāng)a=1時(shí)可證得函數(shù)f（x）在[e，3]上為增函數(shù)，而g（x）也是增函數(shù)，把不等式左邊放大取最大值，右邊取最小值，代入后即可求解最大的正整數(shù)k；
（3）該命題是與自然數(shù)有關(guān)的不等式，采用數(shù)學(xué)歸納法證明，由歸納假設(shè)證明n=k+1成立時(shí)，穿插運(yùn)用分析法．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)（x₀，y₀）為直線y=2x-2與曲線y=g（x）的切點(diǎn)，則有2lnx₀+bx₀=2x₀-2①
∵g′(x)=

2

x

+b，∴

2

x0

+b=2②
由②得，2x₀-2=bx₀，代入①得x₀=1，所以b=0，則g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x），即x-

a

x

≥2lnx，整理得

a

x

≤x-2lnx，
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必須a≤x²-2xlnx恒成立．
設(shè)h（x）=x²-2xlnx，h′(x)=2x-2(lnx+x•

1

x

)=2x-2lnx-2，
∵h″(x)=2-

2

x

，∴當(dāng)x≥1時(shí)，h''（x）≥0，則h'（x）是增函數(shù)，
∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函數(shù)，則h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．
又a＞0，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1． 
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-

1

x

，∵f′(x)=1+

1

x2

＞0，∴f（x）在[e，3]上是增函數(shù)，
f（x）在[e，3]上的最大值為f(3)=

8

3

．
要對(duì)[e，3]內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…，x_k，都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，
必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，∵當(dāng)x₁=x₂=…=x_k-1=3時(shí)不等式左邊取得最大值，
x_k=e時(shí)不等式右邊取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即(k-1)×

8

3

≤16×2，解得k≤13．
因此，k的最大值為13．         
（3）證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

4

3

，右邊=ln3，
根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），即x-

1

x

＞2lnx．
令x=3，得3-

1

3

＞2ln3，即

4

3

＞ln3．
因此，n=1時(shí)不等式成立．   
2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即

k

i=1

4i

4i2-1

＞ln(2k+1)，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

k+1

i=1

4i

4i2-1

=

k

i=1

4i

4i2-1

+

4(k+1)

4(k+1)2-1

＞ln(2k+1)+

4(k+1)

4(k+1)2-1

，
要證n=k+1時(shí)命題成立，即證ln(2k+1)+

4(k+1)

4(k+1)2-1

＞ln(2k+3)，
即證

4(k+1)

4(k+1)2-1

＞ln

2k+3

2k+1

．
在不等式x-

1

x

＞2lnx中，令x=

2k+3

2k+1

，得ln

2k+3

2k+1

＜

1

2

(

2k+3

2k+1

-

2k+1

2k+3

)=

4(k+1)

4(k+1)2-1

．
∴n=k+1時(shí)命題也成立．    
綜上所述，不等式

n

i=1

4i

4i2-1

＞ln(2n+1)對(duì)一切n∈N^*成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算推理能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)，屬難題．