試題分析:(1)由已知有

,即

,而數(shù)列中

,因此已知式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050149676703.png" style="vertical-align:middle;" />,這是

的遞推式,我們可以用

代換其中的

得

,兩式相減,可把

轉(zhuǎn)化為

的遞推式

,出現(xiàn)了數(shù)列相鄰項(xiàng)的和時(shí),同樣再把這個(gè)式子中的

用

代換,得

,兩式相減,得

,代入可證得

為常數(shù);(2)由(1)說明數(shù)列

的奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列且公差為6,因此要使數(shù)列

為遞增數(shù)列,只要有

即可,解這個(gè)不等式可得

的范圍;(3)

,本題就是要證明

,考慮到數(shù)列

是遞增數(shù)列,函數(shù)

是增函數(shù),因此只要證

,即證






,這就是

,從

的圖象上可算出這個(gè)結(jié)論是正確的,從數(shù)上看,取

為常數(shù),

,我們要證明函數(shù)

為增函數(shù),這用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可證.
(1)當(dāng)

時(shí),由已知得

,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050150300675.png" style="vertical-align:middle;" />,所以

. ①
于是

, ②
由②-①得

, ③
于是

, ④
由④-③得

. ⑤
所以

,即數(shù)列


是常數(shù)數(shù)列.
(2)由①有

,所以

.由③有

,所以

.而⑤表明數(shù)列

和

分別是以

為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列,
所以

,
數(shù)列

是單調(diào)遞增數(shù)列

,且

對任意的

成立,

且





.
即所求

取值集合為

.
(3)解法一:弦

的斜率為

,
任取

,設(shè)函數(shù)

,則

,
記

,則

,
當(dāng)

時(shí),

,

在

上為增函數(shù),
當(dāng)

時(shí),

,

在

上為減函數(shù),
所以

時(shí),

,從而

,所以

在

和

上都是增函數(shù).
由(2)知

時(shí),數(shù)列

單調(diào)遞增,
取

,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050151252598.png" style="vertical-align:middle;" />,所以

,
取

,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050151252598.png" style="vertical-align:middle;" />,所以

,
所以

,即弦

的斜率隨

單調(diào)遞增.
解法二:設(shè)函數(shù)

,同解法一得,

在

和

上都是增函數(shù),
所以

,

,
故

,即弦

的斜率隨

單調(diào)遞增.