Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求定義域，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；

（2）若f（1）+f（2）=0，證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，4]上的最值．

Answer 1

【答案】（1） ，奇函數(shù) （2）單調(diào)遞增，證明見詳解，最大值，最小值-1；

【解析】

(1)由題意可得，x≠0，然后檢驗f(-x)與f(x)的關(guān)系即可判斷；

(2)由f(1)+f(2)=a-2+2a-1=0，代入可求a，然后結(jié)合單調(diào)性的定義即可判斷單調(diào)性，再由單調(diào)性可求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，4]上的最大值f(4)，最小值f(1)．即可求解．

(1)由題意可得，x≠0，故定義域為

∵f(-x)=-ax+=-f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)；

(2)由f(1)+f(2)=a-2+2a-1=0，

∴a=1，f(x)=x-，

設(shè)0＜x1＜x2，

則f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(1+)，

∵0＜x1＜x2，

∴x1-x2＜0，1+＞0，

∴(x1-x2)(1+)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)遞增，

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，4]上的最大值為f(4)=，最小值為f(1)=-1．