Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，且平面平面.

（1）求證：平面.

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；

（2）過點(diǎn)做平面的垂線，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角；

解：（1）∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴，

又∵，分別為，的中點(diǎn)，

∴，∴，

又平面，平面，，

∴平面.

（2）過點(diǎn)做平面的垂線，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵，∴，，

，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，令，得，

∴，

∴直線與平面所成角的正弦值為.