Question

（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;

（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點(diǎn)M,求與面積之和的最小值．

 

Answer 1

【答案】

 

解: （Ⅰ）設(shè)拋物線方程為,由題意得:

,, 所以拋物線C的方程為…4分

 

（Ⅱ） 解法一:拋物線焦點(diǎn)與的圓心重合即為E（0,1）,

設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為,,

,,得到,…2分

由拋物線的定義可知,,

．即為定值1…．3分

（Ⅲ）,所以,

所以切線AM的方程為,切線BM的方程為,

解得即……2分

所以點(diǎn)M到直線AB的距離為．

設(shè)

…．2分

令,所以,,

所以在上是增函數(shù),當(dāng),即時(shí),,即與面積之和的最小值為2…3分

（Ⅱ）解法二:設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為,,不妨設(shè)．

,,得到,．2分

,,

,即為定值…．3分

（Ⅲ）,所以,所以切線AM的方程為,

切線BM的方程為,解得即………．3分

所以點(diǎn)M到直線AB的距離為．

設(shè)

…3分

令,所以,,

所以在上是增函數(shù),當(dāng),即時(shí),,即與面積之和的最小值為2

 

【解析】略