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        1. (2011•江蘇模擬)已知⊙O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由⊙O外一點(diǎn)P(a,b)向⊙O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且滿足|PQ|=|PA|.
          (1)求實(shí)數(shù)a,b間滿足的等量關(guān)系;
          (2)求線段PQ長(zhǎng)的最小值;
          (3)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn),試求半徑最小值時(shí)⊙P的方程.
          分析:(1)由勾股定理可得 PQ2=OP2-OQ2=PA2,即 (a2+b2)-1=(a-2)2+(b-1)2,化簡(jiǎn)可得a,b間滿足的等量關(guān)系.
          (2)由于 PQ=
          a2+b2-1
          =
          a2+(-2a+3)2-1
          ,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值.
          (3)設(shè)⊙P 的半徑為R,可得|R-1|≤PO≤R+1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=
          a2+b2
          的最小值為
          3
          5
          5
          ,此時(shí),求得b=-2a+3=
          3
          5
          ,R取得最小值為
          3
          5
          5
          -1,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
          解答:解:(1)連接OQ,∵切點(diǎn)為Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ2=OP2-OQ2
          由已知PQ=PA,可得 PQ2=PA2,即 (a2+b2)-1=(a-2)2+(b-1)2
          花簡(jiǎn)可得 2a+b-3=0.
          (2)∵PQ=
          a2+b2-1
          =
          a2+(-2a+3)2-1
          =
          5a2-12a+8
          =
          5(a-
          6
          5
          )
          2
          +
          4
          5
          ,
          故當(dāng)a=
          6
          5
          時(shí),線段PQ取得最小值為
          2
          5
          5

          (3)若以P為圓心所作的⊙P 的半徑為R,由于⊙O的半徑為1,∴|R-1|≤PO≤R+1.
          而OP=
          a2+b2
          =
          a2+(-2a+3)2
          =
          5(a-
          6
          5
          )
          2
          +
          9
          5
          ,故當(dāng)a=
          6
          5
          時(shí),PO取得最小值為
          3
          5
          5
          ,
          此時(shí),b=-2a+3=
          3
          5
          ,R取得最小值為
          3
          5
          5
          -1.
          故半徑最小時(shí)⊙P 的方程為 (x-
          6
          5
          )
          2
          +(y-
          3
          5
          )
          2
          =(
          3
          5
          5
          -1)
          2
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,圓的切線的性質(zhì),兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江蘇模擬)在△ABC中,已知
          AB
          AC
          =9,sinB=cosAsinC,面積S△ABC=6.
          (Ⅰ)求△ABC的三邊的長(zhǎng);
          (Ⅱ)設(shè)P是△ABC(含邊界)內(nèi)一點(diǎn),P到三邊AC,BC,AB的距離分別為x,y和z,求x+y+z的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江蘇模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=lg
          m-1
          i=1
          ix+mxa
          m2
          ,其中a∈R,m是給定的正整數(shù),且m≥2,如果不等式f(x)<(x-2)lgm在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
          a<
          3-m
          2
          a<
          3-m
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江蘇模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2,若對(duì)任意的x∈[t-2,t],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
          (-∞,-
          2
          ]
          (-∞,-
          2
          ]

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江蘇模擬)設(shè)集合M={1,2,3,4,5,6,7,8},s1,s2,…,sk都是M的含兩個(gè)元素的子集,且滿足對(duì)任意的si={ai,bi},sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k,k∈N*}),都min{
          ai
          bi
          ,
          bi
          ai
          }≠min{
          aj
          bj
          ,
          bj
          aj
          }
          (min{x,y}表示兩個(gè)數(shù)x,y中的較小者),則k的最大值是
          21
          21

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江蘇模擬)已知m,n是不同的直線,α,β是不重合的平面.命題p:若α∥β,m?α,n?β則m∥n;命題q:若m⊥α,n⊥β,m∥n,則α∥β.下面的命題中,真命題的序號(hào)是
          ①④
          ①④

          ①“p或q”為真;②“p且q”為真;③p真q假;④“¬p”為真.

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