Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（），且.

（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，且證明；

（3）在（2）小問(wèn)的條件下，若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用等比數(shù)列的定義，即可判定數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由（1），得，進(jìn)而得到，即可利用放縮法，證得；

（3）當(dāng)恒成立時(shí)，即恒成立

設(shè)，分類(lèi)討論求得函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：（1）在中

令，得即，

∵ 解得

當(dāng)時(shí)，由，得到

則

又，則

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

，即

，則，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

綜上，

（3）當(dāng)恒成立時(shí)，即（）恒成立

設(shè)（），

當(dāng)時(shí)，恒成立，則滿足條件；

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；

當(dāng)時(shí)，由于對(duì)稱軸 ，則在上單調(diào)遞減，

恒成立，則滿足條件，

綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是