Question

在數(shù)列中，，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的倍（）.
（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

Answer 1

（1）；（2），證明過程詳見解析.

試題分析：（1）根據(jù)條件中描述前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍，可以得到相應(yīng)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為，結(jié)合，分別取，
得，
；（2）根據(jù)（1）中所求，可以猜測，利用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，則當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）中得到的式子，令，可以求得，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立，從而得證.
（1）由已知，分別取，
得，
；
∴數(shù)列的前5項(xiàng)是：  6分；
（2）由（1）中的分析可以猜想  8分，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立  9分，
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，
即  10分，
那么由已知，得，
即.∴，
即，又由歸納假設(shè)，得，
∴，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立.
綜上①和②知，對一切，都有成立  13分．