Question

（滿分16分）
設(shè)數(shù)列的前項和為.若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”.
（1）若數(shù)列的前項和為，證明：是“數(shù)列”.
（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項，公差，若是“數(shù)列”，求的值；
（3）證明：對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“數(shù)列” 和，使得成立.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

（1）首先，當(dāng)時，，所以，所以對任意的，是數(shù)列中的項，因此數(shù)列是“數(shù)列”．
（2）由題意，，數(shù)列是“數(shù)列”，則存在，使，，由于，又，則對一切正整數(shù)都成立，所以．
（3）首先，若（是常數(shù)），則數(shù)列前項和為是數(shù)列中的第項，因此是“數(shù)列”，對任意的等差數(shù)列，（是公差），設(shè)，，則，而數(shù)列，都是“數(shù)列”，證畢．
【考點】（1）新定義與數(shù)列的項，（2）數(shù)列的項與整數(shù)的整除；（3）構(gòu)造法．