Question

已知下列四個(gè)命題：
①若函數(shù)y=f（x）在x_°處的導(dǎo)數(shù)f′（x₀）=0，則它在x=x₀處有極值；
②若不論m為何值，直線y=mx+1均與曲線

x2

4

+

y2

b2

=1有公共點(diǎn)，則b≥1；
③若x、y、z∈R+，a=x+

1

y

，b=y+

1

z

，c=z+

1

x

，則a、b、c中至少有一個(gè)不小于2；
④若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，則|a+1|＞2；
以上四個(gè)命題正確的是

③④

（填入相應(yīng)序號）

Answer 1

分析：判斷命題①，可以舉一個(gè)例子，如函數(shù)f（x）=x³，在x=0處的導(dǎo)數(shù)為0，但函數(shù)在x=0處無極值；
命題②中的直線過定點(diǎn)（0，1），保證b²≥1，即b≥1或b≤-1的值，都能使點(diǎn)（0，1）在曲線上或其內(nèi)部；
命題③采用反證法，假設(shè)a、b、c都小于2，三個(gè)式子相加后重新組合，運(yùn)用基本不等式可得到與假設(shè)矛盾；
命題④轉(zhuǎn)化成“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，然后求a的范圍問題直接求解復(fù)雜，考慮絕對值的幾何意義解決．

解答：解：命題①，設(shè)函數(shù)f（x）=x³，f^′（0）=0，函數(shù)f（x）在x=0處無極值，所以命題①不正確．
命題②，不論m為何值，直線y=mx+1恒過定點(diǎn)（0，1），所以只要b²≥1，點(diǎn)（0，1）一定在橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1內(nèi)部，所以
直線y=mx+1均與曲線

x2

4

+

y2

b2

=1有公共點(diǎn)，此時(shí)b≥1或b≤-1，所以命題②不正確．
命題③，假設(shè)a、b、c均小于2，即x+

1

y

＜2，y+

1

z

＜2，z+

1

x

＜2，則x+

1

y

+y+

1

z

+z+

1

x

＜6，
而x+

1

y

+y+

1

z

+z+

1

x

=(x+

1

x

)+(y+

1

y

)+(z+

1

z

)≥2

x• 1 x

+2

y• 1 y

+2

z• 1 z

=6（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)等號成立），與假設(shè)矛盾，所以，若x、y、z∈R+，a=x+

1

y

，b=y+

1

z

，c=z+

1

x

，則a、b、c中至少有一個(gè)不小于2成立，故命題③正確．
命題④，若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，結(jié)合絕對值的幾何意義，|x-a|+|x+1|看作數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對應(yīng)的動點(diǎn)X到兩實(shí)數(shù)a和-1所對應(yīng)定點(diǎn)的距離，若實(shí)數(shù)a對應(yīng)的點(diǎn)到實(shí)數(shù)-1對應(yīng)點(diǎn)的距離大于2，即|a+1|＞2，則數(shù)軸上不存在實(shí)數(shù)x對應(yīng)的動點(diǎn)到a和-1所對應(yīng)定點(diǎn)的距離和小于等于2，即“不存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”成立，故命題④正確．
故答案為③④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是每個(gè)命題的命題意圖，命題①說明了導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；命題②考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法；命題③考查了含有“至少”、“至多”、“存在”等一系列問題的常用證法（反證法）；命題④體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化法這種數(shù)學(xué)思想方法．該題涉及知識點(diǎn)多，處理方法靈活．