Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（

1

3

）=1．
（1）求f（1）與f（3）；  
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取x=y=1，結(jié)合題中等式解出f（1）=0．再令1=3×

1

3

代入，算出f（3）+f（

1

3

）=0，可得f（3）=-1；
（2）由2=1+1結(jié)合1=f（

1

3

）算出f（

1

9

）=2，從而將原不等式化成f[x（2-x）]＜f（

1

9

），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與定義域建立關(guān)于x的不等式組，解之即可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
因此，f（1）=f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

）=0，可得f（3）=-f（

1

3

）=-1；
（2）∵2=1+1=f（

1

3

）+f（

1

3

）=f（

1

3

×

1

3

）=f（

1

9

）
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2可化為f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
由f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，得

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

，解之得1-

2 2

3

＜x＜1+

2 2

3

，
∴x的取值范圍為（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．

點評：本題給出抽象函數(shù)，研究函數(shù)的特殊的函數(shù)值并依此解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其相互關(guān)系等知識，屬于中檔題．