Question

已知f（x）=lg（a^x-b^x）（a>1>b>0）.
（1）求y=f（x）的定義域；
（2）在函數(shù)圖象上是否存在不同兩點(diǎn)，使過(guò)兩點(diǎn)的直線平行于x軸?

Answer 1

（1）由a^x-b^x>0，得（）^x>1=（）⁰.
∵>1，∴x>0.
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）.
（2）先證明f（x）是增函數(shù).對(duì)于任意x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，∴>，<.
∴->-.
∴l(xiāng)g（-）>lg（-）.
∴f（x₁）>f（x₂）.
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).
假設(shè)y=f（x）上存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），使直線AB平行于x軸，則x₁≠x₂，y₁=y₂，這與f（x）是增函數(shù)矛盾.
∴y=f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線平行于x軸.

（2）的思維難點(diǎn)是把問(wèn)題化歸為研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.