Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)x=-

a2

c

（其中c²=a²+b²）的距離，則雙曲線(xiàn)C離心率的取值范圍是（　�。�

• A、(1，

  2

  ]
• B、[

  2

  ，+∞)
• C、(1，

  2

  +1]
• D、[

  2

  +1，+∞)

Answer 1

分析：由雙曲線(xiàn)的定義可得 PF′-PF=2a，

PF′

PF

=e，可得ePF-PF=2a，即 PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥
c-a，故

c

a

≤

2

+1，再由 e＞1 得到 1＜e≤

2

+1．

解答：解：設(shè)雙曲線(xiàn)的由焦點(diǎn)F （c，0），左焦點(diǎn)F′（-c，0 ），由雙曲線(xiàn)的定義可得 PF′-PF=2a，
 

PF′

PF

=e，∴ePF-PF=2a，∴PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥c-a，∴

c

a

≤

2

+1．
再由 e＞1，∴1＜e≤

2

+1，
故選  C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，得到  PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥c-a，
是解題的關(guān)鍵．